2050. В трапеции большее основание равно 5, одна из боковых сторон равна 3. Известно, что одна из диагоналей перпендикулярна заданной боковой стороне, а другая делит угол между заданной боковой стороной и основанием пополам. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \frac{48}{5}
.
Указание. Меньшее основание трапеции равно заданной боковой стороне.
Решение. Пусть BC
и AD
— основания трапеции ABCD
, AD=5
, AC\perp CD
, CD=3
, DB
— биссектриса угла ADC
.
Поскольку \angle CBD=\angle ADB=\angle CDB
, то треугольник BCD
— равнобедренный, BC=CD=3
. Из прямоугольного треугольника ACD
находим, что
AC=\sqrt{AD^{2}-CD^{2}}=4.
Пусть CK
— высота треугольника ACD
. Тогда
CK=AC\cdot\frac{CD}{AD}=\frac{12}{5}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CK=\frac{4\cdot12}{5}=\frac{48}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии МГУ. — 1976, № 2