2051. Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной трапеции, пересекаются под прямым углом. Найдите стороны трапеции, если её площадь равна 12, а высота равна 2.
Ответ. 4, 8, 2\sqrt{2}
, 2\sqrt{2}
.
Указание. Найдите разность и сумму оснований трапеции.
Решение. Пусть P
— точка пересечения боковых сторон AB
и CD
трапеции ABCD
. Тогда APD
— равнобедренный прямоугольный треугольник, \angle A=\angle D=45^{\circ}
.
Из вершин B
и C
меньшего основания BC
опустим перпендикуляры BM
и CK
на большее основание AD
. Тогда
AM=KD=CK=2,AB=CD=2\sqrt{2},
AD-BC=AD-MK=AM+KD=4,
а так как S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)CK
, то имеем ещё одно уравнение: AD+BC=12
. Из полученной системы уравнений находим, что AD=8
и BC=4
.
Источник: Вступительный экзамен на математический факультет МОПИ. — 1979
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.039, с. 161