2052. Точка на гипотенузе, равноудалённая от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40. Найдите катеты треугольника.
Ответ. 42 и 56.
Указание. Точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Решение. Пусть M
— указанная точка на гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
. Тогда CM
— биссектриса треугольника ABC
. Если
AM=40,~BM=30,~AC=y,~BC=x,
то по свойству биссектрисы треугольника \frac{y}{x}=\frac{4}{3}
. Кроме того, по теореме Пифагора x^{2}+y^{2}=4900
. Из системы
\syst{x^{2}+y^{2}=4900\\\frac{y}{x}=\frac{4}{3}\\}
находим, что x=42
, y=56
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.049, с. 162