2053. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной b
, проведены биссектрисы углов при основании. Отрезок прямой, между точками пересечения биссектрис с боковыми сторонами, равен m
. Найдите основание треугольника.
Ответ. \frac{bm}{b-m}
.
Указание. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Решение. Пусть BM
и CK
— биссектрисы треугольника ABC
, AB=AC=b
, KM=m
. Поскольку
\angle KMB=\angle MBC=\angle KBM,
то треугольник KBM
— равнобедренный. Поэтому BK=KM=m
. Аналогично MC=BK=m
.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MC},~\mbox{или}~\frac{b}{BC}=\frac{b-m}{m}.
Отсюда находим, что BC=\frac{bm}{b-m}
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.241, с. 174