2056. В трапеции ABCD
углы A
и D
при основании AD
соответственно равны 60^{\circ}
и 30^{\circ}
. Точка N
лежит на основании BC
, причём BN:NC=2
. Точка M
лежит на основании AD
, прямая MN
перпендикулярна основаниям трапеции и делит её площадь пополам. Найдите отношение AM:MD
.
Ответ. 3:4
.
Указание. Обозначьте NC=a
и выразите через a
высоту трапеции.
Решение. Обозначим NC=a
, NM=h
. Проведём через точку N
прямые, параллельные AB
и CD
, до пересечения с основанием AD
в точках P
и Q
соответственно. Тогда
AP=BN=2a,~QD=NC=a,
PM=h\ctg60^{\circ}=\frac{h\sqrt{3}}{3},~QM=h\ctg30^{\circ}=h\sqrt{3}.
Из равенства площадей трапеций ABNM
и MNCD
следует, что
BN+AM=NC+MD,~\mbox{или}~2a+2a+\frac{h\sqrt{3}}{3}=a+a+h\sqrt{3}.
Отсюда находим, что h=a\sqrt{3}
. Следовательно,
AM=2a+a=3a,~MD=3a+a=4a,~AM:MD=3:4.
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 1972, вариант 3, № 3
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 160
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 101, с. 13