2059. В трапеции ABCD
точки K
и M
являются соответственно серединами оснований AB
и CD
. Известно, что AM
перпендикулярно DK
и CK
перпендикулярно BM
, а угол CKD
равен 60^{\circ}
. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 1.
Ответ. \frac{4\sqrt{3}}{3}
.
Указание. Через вершины C
и D
проведите прямые, параллельные прямым MB
и MA
соответственно.
Решение. Обозначим AK=KB=a
, DM=MC=b
. Через точку C
проведём прямую, параллельную BM
, до пересечения с прямой AB
в точке P
, а через точку D
— прямую, параллельную AM
, до пересечения с прямой AB
в точке Q
. Тогда
KQ=AK+AQ=AK+MD=a+b,~KP=KB+BP=KB+MC=a+b.
Прямоугольные треугольники треугольники QDK
и PCK
равны по гипотенузе и высоте, проведённой к гипотенузе.
Предположим, что \angle DQK=\angle CKP
. Тогда DQ\parallel CK
. Поэтому AQDM
— параллелограмм, значит KQ=CD
, т. е. b+a=2b
. Отсюда следует, что a=b
, т. е. ABCD
— параллелограмм, что противоречит условию задачи (ABCD
— трапеция).
Таким образом,
\angle DKQ=\angle CKP=60^{\circ}.
а площадь каждого из этих треугольников равна половине площади трапеции (так как QK=AK+DM
и PK=KB+MC)
. Следовательно,
S_{\triangle KCP}=\frac{1}{2}KP\cdot1=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}},
S_{ABCD}=2S_{\triangle KCP}=\frac{4}{\sqrt{3}}.