2060. На отрезке AB
лежат точки C
и D
, причём точка C
— между точками A
и D
. Точка M
взята так, что прямые AM
и MD
перпендикулярны и прямые CM
и MB
также перпендикулярны. Найдите площадь треугольника AMB
, если известно, что величина угла CMD
равна \alpha
, а площади треугольников AMD
и CMB
равны S_{1}
и S_{2}
соответственно.
Ответ. \frac{1}{2}\left(S_{1}+S_{2}+\sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}-4S_{1}S_{2}\sin^{2}\alpha}\right)
.
Указание. Обозначьте: AM=x
, CM=y
, DM=z
, BM=t
и составьте систему уравнений.
Решение. Обозначим AM=x
, CM=y
, DM=z
, BM=t
, S_{\triangle AMB}=S
. Тогда
S_{1}=\frac{1}{2}xz,~S_{2}=\frac{1}{2}yt,~S_{\triangle CMD}=\frac{1}{2}yz\sin\alpha,~S_{1}+S_{2}-S_{\triangle CMD}=S,
S=\frac{1}{2}xt\sin\angle AMB=\frac{1}{2}xt\sin(180^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{2}xt\sin\alpha.
Получим систему уравнений
\syst{xtyz=4S_{1}S_{2}\\S_{1}+S_{2}-\frac{1}{2}yz\sin\alpha=S,\\}
или
\syst{xtyz=4S_{1}S_{2}\\S_{1}+S_{2}-\frac{1}{2}yz\sin\alpha=\frac{1}{2}xt\sin\alpha,\\}
или
\syst{xt\cdot yz=4S_{1}S_{2}\\xt+yz=\frac{2(S_{1}+S_{2})}{\sin\alpha}.\\}
Из этой системы находим, что
xt=\frac{S_{1}+S_{2}\pm\sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}-4S_{1}S_{2}\sin^{2}\alpha}}{\sin\alpha}.
Поэтому
S=\frac{1}{2}xt\sin\alpha=\frac{1}{2}\left(S_{1}+S_{2}\pm\sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}-4S_{1}S_{2}\sin^{2}\alpha}\right).
Поскольку S\gt S_{1}
и S\gt S_{2}
, то S\gt\frac{S_{1}+S_{2}}{2}
. Поэтому условию задачи удовлетворяет только
S=\frac{1}{2}\left(S_{1}+S_{2}+\sqrt{(S_{1}+S_{2})^{2}-4S_{1}S_{2}\sin^{2}\alpha}\right).