2062. Внутри треугольника ABC
взята точка K
. Известно, что AK=1
, KC=\sqrt{3}
, а углы AKC
, ABK
и KBC
равны 120^{\circ}
, 15^{\circ}
и 15^{\circ}
соответственно. Найдите BK
.
Ответ. \sqrt{\frac{3}{2-\sqrt{3}}}
.
Указание. Пусть P
и Q
— проекции точки K
на стороны AB
и BC
. Рассмотрите треугольники APK
и KQC
.
Решение. Пусть P
и Q
— основания перпендикуляров, опущенных из точки K
на стороны AB
и BC
соответственно. Тогда
\angle AKP+\angle CKQ=360^{\circ}-\angle AKC-\angle PKQ=360^{\circ}-120^{\circ}-150^{\circ}=90^{\circ}.
Обозначим \angle PAK=\alpha
. Тогда
\angle CKQ=90^{\circ}-\angle AKP=\alpha;
KQ=KC\cos\alpha=\sqrt{3}\cos\alpha,~KP=AK\sin\alpha=\sin\alpha,
а так как KQ=KP
, то
\sqrt{3}\cos\alpha=\sin\alpha.
Поэтому
\tg\alpha=\sqrt{3},~\alpha=60^{\circ},~KP=AK\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
BK=\frac{KP}{\sin\angle PBK}=\sqrt{\frac{3}{2-\sqrt{3}}}.