2066. Основание равнобедренного треугольника равно b
, а высота, опущенная на боковую сторону, равна h
. Найдите площадь треугольника.
Ответ. \frac{b^{2}h}{4\sqrt{b^{2}-h^{2}}}
.
Указание. Обозначьте через x
боковую сторону треугольника и составьте уравнение относительно x
.
Решение. Пусть x
— боковая сторона треугольника, \alpha
— угол при основании, S
— площадь треугольника. Тогда
\sin\alpha=\frac{h}{b},~S=\frac{1}{2}\sqrt{x^{2}-\frac{b^{2}}{4}}=\frac{xh}{2}.
Отсюда находим, что
x=\frac{b^{2}}{2\sqrt{b^{2}-h^{2}}}.
Следовательно,
S=\frac{1}{2}bx\sin\alpha=\frac{b^{2}h}{4\sqrt{b^{2}-h^{2}}}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1962, билет 3, № 1.
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 62-3-1, с. 91
Источник: Вступительный экзамен в МИИТ. — 1979