2072. В ромбе ABCD
точки M
и N
— середины сторон BC
и CD
соответственно. Найдите угол MAN
, если \angle BAD=60^{\circ}
.
Ответ. \arccos\frac{13}{14}=2\arctg\frac{\sqrt{3}}{9}
.
Указание. Найдите тангенс половины угла MAN
.
Решение. Пусть Q
— точка пересечения диагоналей ромба, P
— точка пересечения отрезка MN
с диагональю AC
, AB=a
. Тогда MN
— средняя линия равностороннего треугольника BCD
,
MN=\frac{1}{2}BD=\frac{a}{2},~MP=\frac{1}{2}BQ=\frac{a}{4},
AP=AQ+QP=AQ+\frac{1}{2}AQ=\frac{3}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a\sqrt{3}}{4},
\tg\angle MAP=\frac{MP}{AP}=\frac{a}{4}\cdot\frac{3a\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{9},
\cos\angle MAN=\cos2\angle MAP=\frac{1-\tg^{2}\angle MAP}{1+\tg^{2}\angle MAP}=\frac{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)^{2}}{1+\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)^{2}}=\frac{13}{14}.