2075. В равнобедренной трапеции ABCD
боковая сторона AB
и меньшее основание BC
равны 2, а BD
перпендикулярно AB
. Найдите площадь этой трапеции.
Ответ. 3\sqrt{3}
.
Указание. Докажите, что углы при большем основании трапеции равны 60^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle ADB=\alpha
. Тогда
\angle CBD=\angle ADB=\alpha,
а так как треугольник BCD
равнобедренный, то
\angle CDB=\angle CBD=\alpha.
Поэтому \angle ADC=2\alpha
.
Поскольку
\angle BAD=90^{\circ}-\angle ADB=90^{\circ}-\alpha~\mbox{и}~\angle BAD=\angle ADC,
то 90^{\circ}-\alpha=2\alpha
. Отсюда находим, что \alpha=30^{\circ}
и \angle BAD=60^{\circ}
.
Пусть BK
— высота трапеции. Тогда
BK=AB\sin60^{\circ}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},
а так как AD=2AB=4
, то
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)BK=\frac{1}{2}(4+2)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.