2080. В прямоугольном треугольнике ABC
биссектриса BE
прямого угла B
делится центром O
вписанной окружности в отношении BO:OE=\sqrt{3}:\sqrt{2}
. Найдите острые углы треугольника.
Ответ. \arctg(2-\sqrt{3})=15^{\circ}
, \arctg(2+\sqrt{3})=75^{\circ}
.
Указание. Примените свойство биссектрисы треугольника и найдите отношение катетов.
Решение. Обозначим AB=x
, BC=y
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AB}{AE}=\frac{BO}{OE}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}},~\frac{BC}{CE}=\frac{BO}{OE}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.
Поэтому
AE=\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{3}},~CE=\frac{y\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
По теореме Пифагора из треугольника ABC
находим, что
x^{2}+y^{2}=\frac{2(x+y)^{2}}{3},~\mbox{или}~x^{2}-4xy+y^{2}=0.
Следовательно,
\tg\angle C=\frac{x}{y}=2\pm\sqrt{3}.