2081. В выпуклом четырёхугольнике MNLQ
углы при вершинах N
и L
— прямые, а величина угол при вершине M
равен \arctg\frac{2}{3}
. Найдите диагональ NQ
, если известно, что сторона LQ
вдвое меньше стороны MN
и на 2 больше стороны LN
.
Ответ. 2\sqrt{13}
.
Указание. Обозначьте LQ=x
и составьте уравнение относительно x
.
Решение. Четырёхугольник MNLQ
— прямоугольная трапеция с основаниями LQ
и MN
. Пусть K
— проекция точки Q
на MN
. Обозначим LQ=x
. Тогда
QK=LN=x-2,~KM=MN-NK=2LQ-LQ=LQ=x,
\frac{QK}{KM}=\frac{x-2}{x}=\tg\angle KMQ=\frac{2}{3}.
Отсюда находим, что x=6
. Следовательно,
NQ=\sqrt{NK^{2}+QK^{2}}=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}.