2083. Одно из оснований трапеции служит диаметром окружности радиуса R
, а другое является хордой и отсекает от окружности дугу в \alpha
радиан (0\lt\alpha\lt\pi
). Найдите площадь трапеции.
Ответ. R^{2}\left(1+\sin\frac{\alpha}{2}\right)\cos\frac{\alpha}{2}
.
Указание. Данная трапеция — равнобедренная.
Решение. Пусть AD
— диаметр окружности, описанной около трапеции ABCD
, O
— центр этой окружности (середина AD
). Тогда \angle BOC=\alpha
.
Пусть OM
— высота трапеции. Тогда
\angle MOC=\frac{\alpha}{2},~OM=R\cos\frac{\alpha}{2},~MC=OC\sin\frac{\alpha}{2}=R\sin\frac{\alpha}{2},~BC=2MC=2R\sin\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot OM=\left(R+R\sin\frac{\alpha}{2}\right)R\cos\frac{\alpha}{2}=R^{2}\left(1+\sin\frac{\alpha}{2}\right)\cos\frac{\alpha}{2}.