2084. Из точки A
к окружности с центром в точке N
проведены две касательные, которые касаются окружности в точках B
и M
. Хорда BM
пересекает отрезок NA
в точке K
. Отрезок NK
в \frac{7}{4}
раза меньше отрезка KA
, AB=4
. Найдите площадь треугольника BAK
.
Ответ. \frac{16\sqrt{7}}{11}
.
Указание. С помощью теоремы о высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу, найдите AK
.
Решение. Поскольку треугольник BAM
— равнобедренный (AB=AM
), то биссектриса AK
является его высотой. Поэтому BK\perp AK
. Тогда BK
— высота прямоугольного треугольника ABN
, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
AB^{2}=AK\cdot AN=AK(AK+KN)=AK\left(AK+\frac{4}{7}AK\right)=\frac{11}{7}AK^{2}.
Отсюда находим, что AK^{2}=\frac{112}{11}
.
Из прямоугольного треугольника ABK
находим, что
BK=\sqrt{AB^{2}-AK^{2}}=\sqrt{16-\frac{112}{11}}=\frac{8}{\sqrt{11}}.
Следовательно,
S_{\triangle BAK}=\frac{1}{2}AK\cdot BK=\frac{16\sqrt{7}}{11}.