2085. Дан ромб ABCD
. Окружность радиуса R
касается прямых AB
и AD
в точках B
и D
соответственно и пересекает сторону BC
в точке L
, причём 4BL=BC
. Найдите площадь ромба.
Ответ. \frac{15R^{2}\sqrt{15}}{8}
.
Указание. Опустите перпендикуляр из центра окружности на сторону BC
.
Решение. Пусть BC=4x
. Тогда BL=x
, CL=3x
. Опустим перпендикуляр OP
из центра O
данной окружности на сторону BC
ромба. Тогда
CP=CL+LP=3x+\frac{x}{2}=\frac{7x}{2}.
Если \angle BCD=\alpha
, то
OP=PC\tg\frac{\alpha}{2}=PC\cdot\frac{OB}{AB}=\frac{7x}{2}\cdot\frac{R}{4x}=\frac{7R}{8}.
По теореме Пифагора
OB^{2}=OP^{2}+BP^{2},~\mbox{или}~R^{2}=\frac{49}{64}R^{2}+\frac{x^{2}}{4}.
Отсюда находим, что x=\frac{R\sqrt{15}}{4}
. Тогда
AB=4x=R\sqrt{15},~\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{R}{4x}=\frac{1}{\sqrt{15}},~\sin\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{8}.
Следовательно,
S_{ABCD}=AB\cdot AD\sin\alpha=\frac{15R^{2}\sqrt{15}}{8}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1985, билет 1, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 85-1-4, с. 265