2086. Основание MQ
трапеции MNPQ
(MQ\parallel NP
, MQ\gt NP
) является диаметром окружности, которая касается прямой MN
в точке M
и пересекает сторону PQ
в точке K
, причём PQ=4\sqrt{3}KQ
. Радиус окружности равен R
, \angle NQM=60^{\circ}
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 2R^{2}(5\sqrt{3}-6)
.
Указание. \angle KMQ=15^{\circ}
.
Решение. Обозначим KQ=x
, PQ=4x\sqrt{3}
. Пусть \angle KMQ=\alpha
, F
— проекция точки P
на MQ
. Тогда \angle FPQ=\angle KMQ=\alpha
. В прямоугольном треугольнике PFQ
известно, что
\cos\alpha=\frac{PF}{PQ}=\frac{MN}{PQ}=\frac{2R\sqrt{3}}{4x\sqrt{3}}=\frac{R}{2x}.
Поскольку \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1
, то
\frac{x^{2}}{4R^{2}}+\frac{R^{2}}{4x^{2}}=1.
Отсюда находим, что
\sin\alpha=\frac{x}{2R}=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}.
Следовательно, \alpha=15^{\circ}
. Тогда
NP=MF=MQ-FQ=2R-\frac{R(3+\sqrt{3})}{\sqrt{2}}=4R(2-\sqrt{3}),
S_{MNPQ}=\frac{1}{2}(MQ+NP)\cdot MN=2R^{2}(5\sqrt{3}-6).
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1985, билет 2, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 85-2-4, с. 266