2087. Дан треугольник ABC
. Окружность радиуса R
касается прямых AB
и BC
в точках A
и C
соответственно и пересекает медиану BD
в точке L
, причём BL=\frac{5}{9}BD
. Найдите площадь треугольника.
Ответ. \frac{27R^{2}}{100}
.
Указание. Пусть O
— центр данной окружности. Тогда треугольники ODC
и OCB
подобны.
Решение. Поскольку BA=BC
, то треугольник ABC
— равнобедренный. Его медиана BD
является высотой и биссектрисой. Поэтому центр O
данной окружности лежит на луче BD
.
Обозначим BL=5x
. Тогда
BD=9x,~DL=4x,~OD=OL-LD=R-4x.
Из подобия треугольников ODC
и OCB
находим, что
\frac{OD}{OC}=\frac{OC}{OB},~\mbox{или}~\frac{R-4x}{R}=\frac{R}{5x+R}.
Поэтому x=\frac{R}{20}
. Следовательно,
BD=9x=\frac{9R}{20},~AC=2CD=2\sqrt{OC^{2}-OD^{2}}=2\sqrt{R^{2}-\frac{16R^{2}}{25}}=\frac{6R}{5},
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{3R}{5}\cdot\frac{9R}{20}=\frac{27R^{2}}{100}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1985, билет 3, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 85-3-4, с. 266