2088. Основание AD
трапеции ABCD
(AD\parallel BC
, AD\gt BC
) является диаметром окружности, которая касается прямой CD
в точке D
и пересекает сторону AB
в точке L
, причём AB=\frac{4}{\sqrt{3}}AL
. Радиус окружности равен R
, \angle CAD=45^{\circ}
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \frac{2R^{2}(2\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}}
Указание. \angle BAD=60^{\circ}
.
Решение. Пусть AL=x
. Тогда AB=\frac{4x}{\sqrt{3}}
. Если P
— проекция точки B
на сторону AD
, то прямоугольные треугольники DLA
и BPA
подобны. Следовательно,
\frac{LD}{DA}=\frac{BP}{AB},~\mbox{или}~\frac{\sqrt{4R^{2}-x^{2}}}{2R}=\frac{2R}{\frac{4x}{\sqrt{3}}}.
Из этого уравнения находим, что x=R\sqrt{3}
или x=R
. Если x=R\sqrt{3}
, то
\cos\angle LAD=\frac{LA}{AD}=\frac{x}{2R}=\frac{\sqrt{3}}{2},
т. е. \angle LAD=30^{\circ}
, что невозможно, так как \angle LAD\gt\angle CAD=45^{\circ}
.
Если x=R
, то \angle LAD=60^{\circ}
. Тогда
AP=\frac{1}{2}AB=\frac{2R}{\sqrt{3}},~BC=DP=2R-\frac{2R}{\sqrt{3}}=\frac{2R(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot CD=\frac{2R^{2}(2\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}}.