2093. В остроугольном треугольнике ABC
проведены биссектриса AL
и медиана CM
. Точки K
и N
являются ортогональными проекциями на сторону AC
точек L
и M
соответственно, причём AK:KC=4:1
, AN:NC=3:7
. Найдите отношение AL:CM
.
Ответ. 4:\sqrt{13}
.
Указание. Проведите высоту треугольника ABC
из вершины B
.
Решение. Пусть AC=10x
. Тогда AN=3x
, NK=5x
, KC=2x
. Пусть BH
— высота треугольника ABC
.
Поскольку MN\parallel BH
, то MN
— средняя линия треугольника ABH
. Поэтому
NH=AN=3x,~AH=6x,~CH=4x,
а так как CK=2x
, то HK=HC-CK=2x
. Поэтому LK
— средняя линия треугольника BHC
, L
— середина BC
, а AL
— медиана треугольника ABC
. Следовательно, треугольник ABC
— равнобедренный, AB=AC=10x
. Тогда
BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{100x^{2}-36x^{2}}=8x,
MN=\frac{1}{2}BH=4x,~LK=\frac{1}{2}BH=4x,
CM=\sqrt{CN^{2}+MN^{2}}=\sqrt{49x^{2}+16x^{2}}=x\sqrt{65},
AL=\sqrt{AK^{2}+LK^{2}}=\sqrt{64x^{2}+16x^{2}}=x\sqrt{80}.
Следовательно,
\frac{AL}{CM}=\frac{x\sqrt{80}}{x\sqrt{65}}=\frac{4}{\sqrt{13}}.