2099. Окружность с центром в точке пересечения диагоналей KM
и LN
равнобедренной трапеции KLMN
касается меньшего основания LM
и боковой стороны MN
. Найдите периметр трапеции KLMN
, если известно, что её высота равна 36, а радиус окружности равен 11.
Ответ. 129.
Указание. Докажите, что боковая сторона трапеции равна большему основанию.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей данной трапеции, A
— точка касания окружности с основанием LM
, AB
и LP
— высоты трапеции. Тогда
\frac{AM}{KB}=\frac{AO}{OB}=\frac{11}{36-11}=\frac{11}{25}.
Пусть LM=11x
, KN=25x
. Поскольку LN
— биссектриса угла KLM
, то
\angle LNK=\angle MLN=\angle NLK.
Поэтому треугольник LKN
— равнобедренный, LK=KN=25x
. Тогда MN=LK=25x
.
В прямоугольном треугольнике LPK
известно, что
KL=25x,~LP=36,~KP=\frac{KN-LM}{2}=7x.
По теореме Пифагора
KL^{2}=KP^{2}+LP^{2},~\mbox{или}~625x^{2}=49x^{2}+36^{2}.
Отсюда находим, что
x^{2}=\frac{36^{2}}{576},~x=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}.
Следовательно, периметр трапеции равен 86x=86\cdot\frac{3}{2}=129
.