2103. Точки K
и M
расположены соответственно на стороне BC
и высоте BP
остроугольного треугольника ABC
. Найдите площадь равностороннего треугольника AMK
, если известно, что AP=3
, PC=\frac{11}{2}
, BK:KC=10:1
.
Ответ. \frac{49}{\sqrt{3}}
.
Указание. Докажите, что прямая BP
делит отрезок AK
в отношении 3:5
.
Решение. Пусть F
и T
— проекции точки K
на AC
и BP
соответственно. Тогда PF=\frac{10}{11}PC=5
, KT=PF=5
.
Пусть Q
— точка пересечения AK
и BP
. Из подобия треугольников APQ
и AFK
следует, что
\frac{AQ}{AK}=\frac{AP}{AF}=\frac{3}{8}.
Обозначим AK=KM=AM=x
. Тогда AQ=\frac{3x}{8}
. По теореме косинусов из треугольника AMQ
находим, что
MQ^{2}=AM^{2}+AQ^{2}-2AM\cdot AQ\cos60^{\circ}=x^{2}+\frac{9x^{2}}{64}-\frac{3x^{2}}{8}=\frac{49x^{2}}{64}.
Поэтому MQ=\frac{7x}{8}
.
Поскольку KT=5
— высота треугольника MKQ
и S_{\triangle MKQ}=\frac{5}{8}S_{\triangle AMK}
, то
MQ\cdot KT=\frac{5}{8}AM\cdot AK\sin60^{\circ},
или
\frac{7}{8}x\cdot5=\frac{5}{8}x^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Отсюда находим, что x=\frac{14}{\sqrt{3}}
. Следовательно,
S_{\triangle AMK}=x^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{49}{\sqrt{3}}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1988, билет 2, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 88-2-3, с. 288