2107. На сторону BC
ромба ABCD
опущена высота DE
. Диагональ AC
ромба пересекает высоту DE
в точке F
, причём DF:FE=5
. Найдите сторону ромба, если известно, что AE=5
.
Ответ. \frac{25}{7}
.
Указание. CF
— биссектриса треугольника CDE
.
Решение. Поскольку CF
— биссектриса треугольника CDE
, то
\frac{CE}{CD}=\frac{FE}{FD}=\frac{1}{5}.
Пусть CE=x
, CD=5x
. Тогда
DE=\sqrt{CD^{2}-CE^{2}}=2x\sqrt{6},
AE^{2}=AD^{2}+DE^{2},~\mbox{или}~25=25x^{2}+24x^{2}.
Отсюда находим, что x=\frac{5}{7}
. Следовательно, CD=5x=\frac{25}{7}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1988, билет 6, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 88-6-2, с. 291