2109. На стороне AD
ромба ABCD
взята точка M
, причём MD=0{,}3AD
и BM=MC=11
. Найдите площадь треугольника BCM
.
Ответ. 20\sqrt{6}
.
Указание. Проведите высоты MK
и BF
треугольников BMC
и ABM
соответственно.
Решение. Пусть AD=10x
, MD=3x
. Если K
— проекция точки M
на сторону BC
, то
BK=KC=5x,~MK^{2}=BM^{2}-BK^{2}=121-25x^{2}.
Если F
— проекция точки B
на сторону AD
, то
AF=AM-FM=AM-BK=2x,~BF^{2}=AB^{2}-AF^{2}=100x^{2}-4x^{2}=96x^{2},
а так как BF=MK
, то
121-25x^{2}=96x^{2}.
Отсюда находим, что x=1
. Тогда
BC=10x=10,~KM=\sqrt{121-25}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}.
Следовательно,
S_{\triangle BCM}=\frac{1}{2}BC\cdot KM=5\cdot4\sqrt{6}=20\sqrt{6}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1988, билет 5, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 81-5-3, с. 233