2112. На продолжении стороны AB
ромба ABCD
за точку B
взята точка M
, причём MD=MC
и \angle MDC=\arctg\frac{8}{5}
. Найдите отношение отрезков MA
и MB
.
Ответ. 11:1
.
Указание. Опустите перпендикуляры из точек M
и D
на DC
и AB
соответственно.
Решение. Обозначим сторону ромба через 2x
. Пусть P
— проекция точки M
на DC
, а K
— точки D
на AB
. Поскольку треугольник DMC
равнобедренный, то P
— середина CD
. Поэтому DP=x
. Тогда
MP=DP\tg\angle MDC=\frac{8x}{5},~DK=MP=\frac{8x}{5},
AK=\sqrt{AD^{2}-KD^{2}}=\sqrt{4x^{2}-\frac{64x^{2}}{25}}=\frac{6x}{5},
MK=DP=x,~AM=AK+MK=\frac{6x}{5}+x=\frac{11x}{5},
MB=AM-AB=\frac{11x}{5}-2x=\frac{x}{5},~\frac{AM}{MB}=\frac{\frac{11x}{5}}{\frac{x}{5}}=11.