2115. В прямоугольном треугольнике ABC
с гипотенузой AC
, равной 2, проведены медианы AM
и CN
. Около четырёхугольника ANMC
можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности.
Ответ. \frac{\sqrt{5}}{2}
.
Указание. Докажите, что треугольник ABC
— равнобедренный.
Решение. Из теоремы о касательной и секущей следует, что
BA\cdot BN=BC\cdot BM,~\mbox{или}~2BN^{2}=2BM^{2}.
Поэтому BN=BM
и AB=BC=\sqrt{2}
, т. е. треугольник ABC
— равнобедренный.
CN=\sqrt{BC^{2}+BN^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}.
Если R
— искомый радиус, то
CN=2R\sin\angle BAC=2R\sin45^{\circ}=R\sqrt{2}.
Отсюда находим, что
R=\frac{CN}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1981, билет 10, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 81-10-3, с. 237
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 12.36.1, с. 127