2115. В прямоугольном треугольнике ABC
с гипотенузой AC
, равной 2, проведены медианы AM
и CN
. Около четырёхугольника ANMC
можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности.
Ответ. \frac{\sqrt{5}}{2}
.
Указание. Докажите, что треугольник ABC
— равнобедренный.
Решение. Из теоремы о касательной и секущей следует, что
BA\cdot BN=BC\cdot BM,~\mbox{или}~2BN^{2}=2BM^{2}.
Поэтому BN=BM
и AB=BC=\sqrt{2}
, т. е. треугольник ABC
— равнобедренный.
CN=\sqrt{BC^{2}+BN^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}.
Если R
— искомый радиус, то
CN=2R\sin\angle BAC=2R\sin45^{\circ}=R\sqrt{2}.
Отсюда находим, что
R=\frac{CN}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.