2117. Равнобедренный треугольник ABC
(\angle C=90^{\circ}
) и треугольник DEF
расположены так, что точка D
лежит на стороне AB
, а точка E
— на продолжении стороны AB
за точку A
. Отрезок KL
является средней линией в обоих треугольниках, и площадь четырёхугольника DKLB
составляет \frac{5}{8}
площади треугольника ABC
. Найдите угол DEF
.
Ответ. \arctg\frac{1}{4}
.
Указание. Докажите, что KD
перпендикулярно AB
.
Решение. Заметим, что точки C
и F
лежат по одну сторону от прямой AB
. Обозначим AB=4a
. Тогда
KL=2a,~ED=2KL=4a.
Далее имеем:
S_{AKLB}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle KLC}=S_{\triangle ABC}-\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABC},
S_{\triangle AKD}=S_{AKLB}-S_{DKLB}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABC}-\frac{5}{8}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{8}S_{\triangle ABC}.
Если M
— проекция точки K
на AB
, а P
— середина AB
, то KM
— средняя линия треугольника ACP
. Поэтому
S_{\triangle AKM}=\frac{1}{4}S_{\triangle ACP}=\frac{1}{8}S_{\triangle ABC}.
Отсюда следует, что точки D
и M
совпадают. Тогда
\tg\angle DEF=\frac{KD}{DE}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4}.