2127. В трапеции ABCD
известно, что \angle BAD=45^{\circ}
, \angle ADC=90^{\circ}
. Окружность, центр которой лежит на отрезке AD
, касается прямых AB
, BC
и CD
. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен R
.
Ответ. \frac{R^{2}(1+2\sqrt{2})}{2}
.
Указание. Пусть O
— центр окружности. Тогда треугольник OBA
— равнобедренный.
Решение. Пусть O
— центр окружности, K
и F
— её точки касания со сторонами BC
и AB
соответственно, P
— проекция точки B
на AD
. Тогда AF=OF=R
.
Поскольку \angle OBA=\angle OBC=\angle BOA
, то треугольник OBA
— равнобедренный. Поэтому
OA=AB=BP\sqrt{2}=OK\sqrt{2}=R\sqrt{2}.
Следовательно,
BK=BF=AB-AF=R\sqrt{2}-R=R(\sqrt{2}-1).
Тогда
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BP=\frac{1}{2}(DO+OA+BK+CK)\cdot BP=
=\frac{1}{2}(R+R\sqrt{2}+R(\sqrt{2}-1)+R)R=\frac{R^{2}(1+2\sqrt{2})}{2}.