2131. В параллелограмме ABCD
биссектриса угла A
пересекает сторону BC
в точке M
, а биссектриса угла C
пересекает сторону AD
в точке N
. Площадь четырёхугольника, образованного пересечением биссектрис AM
и CN
с отрезками BN
и DM
, равна \frac{6}{5}
. Найдите углы параллелограмма ABCD
, если AB=3
, AD=5
.
Ответ. \arcsin\frac{1}{3}
, 180^{\circ}-\arcsin\frac{1}{3}
.
Решение. Пусть P
— точка пересечения прямых CN
и DM
, а Q
— прямых AM
и BN
. Поскольку
\angle BMA=\angle DAM=\angle BAM,
то треугольник ABM
— равнобедренный,
BM=AB=3,~MC=BC-BM=5-3=2.
Аналогично докажем, что DN=3
и AN=2
. Отсюда следует, что BMDN
— параллелограмм. Поэтому MP\parallel NQ
, а так как AM\parallel CN
, то MPNQ
— также параллелограмм. Значит,
S_{\triangle MPN}=\frac{1}{2}S_{MPNQ}=\frac{3}{5}.
Кроме того,
\frac{MP}{PD}=\frac{CP}{PN}=\frac{MC}{ND}=\frac{2}{3},
поэтому
S_{\triangle MPC}=\frac{CP}{PN}S_{\triangle MPN}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}=\frac{2}{5},
S_{\triangle CDP}=\frac{DP}{PM}S_{\triangle MPC}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{5}=\frac{3}{5},
S_{\triangle DPN}=\frac{DP}{PM}S_{\triangle MPN}=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{10},
S_{ABCD}=2S_{CDMN}=2(S_{\triangle MPN}+S_{\triangle MPC}+S_{\triangle CDP}+S_{\triangle DPN})=2\left(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{9}{10}\right)=5.
С другой стороны,
S_{ABCD}=AB\cdot AD\sin\angle BAD=3\cdot5\sin\angle BAD.
Из уравнения 15\sin\angle BAD=5
находим, что \sin\angle BAD=\frac{1}{3}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1983, билет 2, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 83-2-3, с. 249