2135. Из вершины тупого угла ромба ABCD
проведены высоты BM
и BN
. В четырёхугольник BMDN
вписана окружность радиуса 1. Найдите сторону ромба, если \angle ABC=2\arctg2
.
Ответ. \frac{15}{4}
.
Указание. Найдите синус острого угла ромба.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что точки M
и N
лежат на сторонах CD
и AD
соответственно.
Пусть данная окружность с центром в точке O
касается отрезка AD
в точке K
, а отрезка BN
— в точке P
. Обозначим \angle DBC=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=2,~DK=\frac{OK}{\tg\alpha}=\frac{1}{2},~KN=OP=1,
DN=DK+KN=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2},~BN=DN\tg\alpha=3,
AB=\frac{BN}{\sin\angle A}=\frac{BN}{\sin(180^{\circ}-2\alpha)}=\frac{3}{\sin2\alpha},
\sin2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1+\tg^{2}\alpha}=\frac{4}{1+4}=\frac{4}{5}.
Следовательно,
AB=\frac{3}{\frac{4}{5}}=\frac{15}{4}.
Примечание. После того, как найдено DN=\frac{3}{2}
и BN=3
, можно обозначить через x
сторону ромба и применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABN
:
x^{2}=3^{2}+\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}.
Из этого уравнения находим, что x=\frac{15}{4}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1983, билет 6, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 83-6-3, с. 252