2137. На окружности по разные стороны от диаметра AC
расположены точки B
и D
. Известно, что AB=\sqrt{6}
, CD=1
, а площадь треугольника ABC
втрое больше площади треугольника BCD
. Найдите радиус окружности.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Указание. Продолжите BC
и AD
до пересечения в точке M
и найдите синус (или косинус) угла AMB
.
Решение. Пусть прямые BC
и AD
пересекаются в точке M
, DK
— высота треугольника BCD
. Поскольку
\angle ABC=90^{\circ},~S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC},
то
DK=\frac{1}{3}AB=\frac{\sqrt{6}}{3}.
Тогда
\cos\angle KDC=\frac{DK}{CD}=\frac{\sqrt{6}}{3},~AM=\frac{AB}{\sin\angle AMB}=\frac{AB}{\sin\angle KDC}=3\sqrt{2}.
Поскольку DK\parallel AB
, то
AD=\frac{2}{3}AM=2\sqrt{2}.
Из прямоугольного треугольника ADC
находим, что
AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=3
Следовательно, радиус окружности равен \frac{3}{2}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1983, билет 9, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 83-9-4, с. 254