2139. В остроугольном треугольнике ABC
высота AD
, медиана BE
и биссектриса CF
пересекаются в точке O
. Найдите \angle C
, если OE=2OC
.
Ответ. \arccos\frac{1}{7}
.
Указание. Примените теорему косинусов к треугольнику EOC
.
Решение. Пусть OC=x
и \angle DCO=\alpha
. Тогда
EO=2x,~\angle ACB=2\alpha,~CD=CO\cos\alpha=x\cos\alpha,
AC=\frac{DC}{\cos2\alpha}=\frac{x\cos\alpha}{\cos2\alpha},~EC=\frac{1}{2}AC=\frac{x\cos\alpha}{2\cos2\alpha}.
По теореме косинусов из треугольника EOC
находим:
EO^{2}=CO^{2}+CE^{2}-2CO\cdot CE\cos\alpha,
или
4x^{2}=x^{2}+\frac{x^{2}\cos^{2}\alpha}{4\cos^{2}2\alpha}-\frac{2x\cdot x\cos^{2}\alpha}{2\cos2\alpha}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~12\cos^{2}2\alpha=\cos^{2}\alpha-4\cos^{2}\alpha\cos2\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~28\cos^{2}2\alpha+3\cos2\alpha-1=0.
Отсюда находим, что \cos2\alpha=\frac{1}{7}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1983, билет 10, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 83-10-4, с. 254