2141. Основание AC
равнобедренного треугольника ABC
является хордой окружности, центр которой лежит внутри треугольника ABC
. Прямые, проходящие через точку B
, касаются окружности в точках D
и E
. Найдите площадь треугольника DBE
, если AB=BC=2
, \angle ABC=2\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}
, а радиус окружности равен 1.
Ответ. \frac{8\sqrt{5}}{45}
.
Указание. Вычислите синус угла DBE
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, P
— середина AC
,
\angle ABP=\angle CBP=\alpha,~\angle PBE=\angle PBD=\beta.
Тогда
BP=AB\cos\alpha=2\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}},~AP=AB\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}},
OP=\sqrt{AO^{2}-AP^{2}}=\sqrt{1-\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}},
BO=BP-OP=\frac{4}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}},~BE=\sqrt{BO^{2}-OE^{2}}=\sqrt{\frac{9}{5}-1}=\frac{2}{\sqrt{5}},
\tg\beta=\frac{OE}{BE}=\frac{\sqrt{5}}{2},~\sin2\beta=\frac{2\tg\beta}{1+\tg^{2}\beta}=\frac{4\sqrt{5}}{9}.
Следовательно,
S_{\triangle DBE}=\frac{1}{2}BE\cdot BD\sin2\beta=\frac{8\sqrt{5}}{45}.