2143. Окружность, центр которой лежит вне квадрата ABCD
, проходит через точки B
и C
. Найдите угол между касательными к окружности, проведёнными из точки D
, если отношение стороны квадрата к диаметру окружности равно \frac{3}{5}
.
Ответ. 2\arcsin\frac{5}{\sqrt{109}}
.
Указание. Пусть сторона квадрата равна 6x
, а диаметр окружности равен 10x
. Найдите расстояние от точки D
до центра окружности.
Решение. Продолжим сторону DC
до вторичного пересечения с окружностью в точке M
и опустим из центра O
окружности перпендикуляр OP
на хорду CM
.
Пусть сторона квадрата равна 6x
, диаметр окружности равен 10x
. Поскольку точка O
лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
квадрата, то OP=\frac{1}{2}BC=3x
. Тогда
CP=\sqrt{OC^{2}-OP^{2}}=\sqrt{25x^{2}-9x^{2}}=4x,~DP=DC+CP=6x+4x=10x,
DO=\sqrt{DP^{2}+OP^{2}}=\sqrt{100x^{2}+9x^{2}}=x\sqrt{109}.
Следовательно, если K
— точка касания, то
\sin\angle KDO=\frac{OK}{DO}=\frac{5}{\sqrt{109}}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1989, билет 2, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 89-2-3, с. 295