2147. В окружность диаметра 1 вписан четырёхугольник ABCD
, у которого угол D
прямой, AB=BC
. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
, если его периметр равен \frac{9\sqrt{2}}{5}
.
Ответ. \frac{8}{25}
.
Указание. ABC
— равнобедренный прямоугольный треугольник.
Решение. Поскольку \angle D=90^{\circ}
, то AC
— диаметр окружности. Поэтому \angle B=90^{\circ}
. Следовательно,
AB=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Тогда
AD+CD=\frac{9\sqrt{2}}{5}-AB-BC=\frac{4\sqrt{2}}{5},~AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}=1.
Поэтому
2AD\cdot CD=(AD+CD)^{2}-(AD^{2}+CD^{2})=\frac{32}{25}-1=\frac{7}{25},
S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AD\cdot CD=\frac{7}{100}.
Поскольку
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4},
то
S_{ABCD}=S_{\triangle ADC}+S_{\triangle ABC}=\frac{7}{100}+\frac{1}{4}=\frac{32}{100}=\frac{8}{25}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1989, билет 6, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 89-6-2, с. 298