2153. Биссектрисы углов A
и B
трапеции ABCD
(BC\parallel AD
) пересекаются в точке O
. Найдите стороны AB
и BC
, если \angle A=2\arccos\sqrt{\frac{5}{6}}
, OC=\sqrt{7}
, OD=3\sqrt{15}
, AD=5BC
Ответ. 2\sqrt{3}
, \frac{5\sqrt{3}}{3}
.
Указание. Обозначьте AB=x
, BC=a
и составьте с помощью теоремы косинусов для треугольников AOD
и BOC
два уравнения относительно a
и x
. Из этих уравнений можно исключить a
.
Решение. Обозначим AB=x
, BC=a
, \angle BAD=2\alpha
. Тогда
AD=5a,~\angle OAB=\angle OAD=\alpha,~\angle AOB=90^{\circ},
\angle OBC=\angle OBA=90^{\circ}-\alpha,~AO=AB\cos\alpha=\frac{x\sqrt{5}}{\sqrt{6}},
OB=AB\sin\alpha=\frac{x}{\sqrt{6}}.
По теореме косинусов из треугольника AOD
находим, что
OD^{2}=AO^{2}+AD^{2}-2AO\cdot AD\cos\alpha,~\mbox{или}~135=\frac{5x^{2}}{6}+25a^{2}-\frac{25ax}{3}.
Из треугольника BOC
аналогично находим, что
7=\frac{x^{2}}{6}+a^{2}-\frac{ax}{3}.
Умножим второе уравнение на 25 и вычтем из него первое. Получим, что 40=\frac{10x^{2}}{3}
. Следовательно, x^{2}=12
и AB=x=2\sqrt{3}
. Из второго уравнения находим, что
a^{2}-\frac{2a\sqrt{3}}{3}-5=0.
Отсюда следует, что BC=a=\frac{5\sqrt{3}}{3}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1990, билет 5, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 90-5-3, с. 303