2155. Биссектрисы углов B
и C
параллелограмма ABCD
пересекаются в точке O
. Найдите площадь параллелограмма, если \angle A=2\arcsin\frac{2}{\sqrt{13}}
, OA=2\sqrt{10}
, OD=5
. (Найдите все решения.)
Ответ. 24 или 72.
Указание. Обозначьте BC=x
, AB=a
и составьте с помощью теоремы косинусов для треугольников OCD
и OAB
два уравнения относительно a
и x
. Из этих уравнений можно исключить x
.
Решение. Обозначим
BC=AD=x,~AB=CD=a,~\angle BAD=\angle BCD=2\alpha.
Тогда
\angle BCO=\angle DCO=\alpha,~\angle BOC=90^{\circ},~\angle ABO=\angle CBO=90^{\circ}-\alpha,
BO=BC\sin\alpha=\frac{2x}{\sqrt{13}},~OC=BC\cos\alpha=3x\sqrt{13}.
По теореме косинусов из треугольника OCD
находим, что
OD^{2}=OC^{2}+CD^{2}-2OC\cdot CD\cos\alpha,~\mbox{или}~25=\frac{9x^{2}}{13}+a^{2}-\frac{18ax}{13}=\frac{9(x^{2}-2ax)}{13}+a^{2}.
Из треугольника OAB
аналогично находим, что
40=\frac{4(x^{2}-2ax)}{13}+a^{2}.
Умножим второе уравнение на 9 и вычтем из него первое, умноженное на 4. Получим, что 260=5a^{2}
. Поэтому a=2\sqrt{13}
.
Подставив полученное значение a
во второе уравнение, получим квадратное уравнение относительно x
:
x^{2}-4x\sqrt{13}+39=0.
Следовательно, x=3\sqrt{13}
или x=\sqrt{13}
. В первом случае
S_{ABCD}=ax\sin2\alpha=2ax\sin\alpha\cos\alpha=72,
во втором — S_{ABCD}=24
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1990, билет 6, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 90-6-3, с. 304