2157. Сторона ромба ABCD
равна a
, а острый угол ABC
равен \alpha
. На отрезках AD
и BC
построены как на сторонах вне ромба правильные треугольники. Найдите расстояние между их центрами.
Ответ. a\sqrt{\frac{1}{3}(4+2\sqrt{3}\sin\alpha)}
.
Указание. Докажите, что отрезок, соединяющий центры данных равносторонних треугольников, проходит через точку пересечения диагоналей ромба и делится ею пополам.
Решение. Пусть P
и Q
— центры указанных равносторонних треугольников. Тогда BQ=DP=\frac{a}{\sqrt{3}}
и BQ\parallel DP
. Поэтому DPBQ
— параллелограмм. Его диагональ PQ
проходит через середину диагонали BD
, т. е. центр O
ромба. Следовательно,
PQ=2OQ=2\sqrt{OB^{2}+BQ^{2}-2OB\cdot BQ\cos\angle OBQ}=
=2\sqrt{\left(BC\cos\frac{\alpha}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}-2\left(BC\cos\frac{\alpha}{2}\right)\cdot\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)\cos\left(30^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)}=
=2\sqrt{a^{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}+\frac{a^{2}}{3}-2a\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{a}{\sqrt{3}}\cos\left(30^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)}=
=2a\sqrt{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{3}-2\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\cos\left(30^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)}=
=2a\sqrt{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{3}-\frac{2}{\sqrt{3}}\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\right)}=
=a\sqrt{\frac{1}{3}(4+2\sqrt{3}\sin\alpha)}.