2158. Правильный треугольник ABC
со стороной a
и два ромба ACMN
и ABFE
расположены так, что точки M
и B
лежат по разные стороны от прямой AC
, а точки F
и C
— по разные стороны от прямой AB
. Найдите расстояние между центрами ромбов, если \angle EAB=\angle ACM=\alpha
(\alpha\lt90^{\circ}
).
Ответ. a\sqrt{\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\sin\alpha}
.
Указание. Пусть P
и Q
— центры ромбов. С помощью теоремы косинусов найдите PQ
из треугольника PAQ
.
Решение. Пусть P
и Q
— центры ромбов ACMN
и ABFE
. Тогда
\angle PAQ=\angle PAC+\angle CAB+\angle BAQ=\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)+60^{\circ}+\frac{\alpha}{2}=150^{\circ},
AQ=AB\cos\angle QAB=a\cos\frac{\alpha}{2},~AP=AC\sin\angle PCA=a\sin\frac{\alpha}{2}.
По теореме косинусов из треугольника PAQ
находим, что
PQ^{2}=AQ^{2}+AP^{2}-2AQ\cdot AP\cos150^{\circ}=
\left(a\cos\frac{\alpha}{2}\right)^{2}+\left(a\sin\frac{\alpha}{2}\right)^{2}+2a^{2}\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=
=a^{2}+a^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sin\alpha=a^{2}\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right).