2159. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=BC
) медиана AD
и биссектриса CE
перпендикулярны. Найдите величину угла ADB
.
Ответ. 180^{\circ}-\arccos\frac{\sqrt{6}}{4}
.
Указание. Треугольник ACD
— равнобедренный.
Решение. Обозначим CD=DB=a
, \angle ACB=\alpha\lt90^{\circ}
. Пусть P
— точка пересечения биссектрисы CE
и медианы AD
. Тогда биссектриса CP
треугольника ACD
является его высотой. Поэтому треугольник ACD
— равнобедренный, AC=CD=a
.
Если BM
— высота треугольника ABC
, то
\cos\alpha=\cos\angle ACB=\frac{MC}{BC}=\frac{AC}{2BC}=\frac{1}{4},~\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.
Следовательно,
\cos\angle ADB=\cos(\angle DCP+\angle DPC)=\cos\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=-\sin\frac{\alpha}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1978, билет 1, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 78-1-3, с. 201