2160. В треугольнике ABC
угол B
— прямой, медианы AD
и BE
взаимно перпендикулярны. Найдите угол C
.
Ответ. \arctg\frac{1}{\sqrt{2}}
.
Указание. Медианы делятся точкой их пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины.
Решение. Пусть O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Обозначим OE=a
, OD=b
. Тогда
BO=2a,~AO=2b,~AB=\sqrt{OB^{2}+OA^{2}}=2\sqrt{a^{2}+b^{2}},
DB=\sqrt{OB^{2}+OD^{2}}=\sqrt{b^{2}+4a^{2}},~AD^{2}=DB^{2}+AB^{2},
или
9b^{2}=b^{2}+4a^{2}+4a^{2}+4b^{2}.
Отсюда находим, что
b=a\sqrt{2},~AB=2a\sqrt{3},~BC=2BD=2a\sqrt{6}.
Следовательно,
\tg\angle C=\frac{AB}{BC}=\frac{2a\sqrt{3}}{2a\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1978, билет 3, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 78-3-3, с. 202