2164. В трапеции ABCD
большее основание AD
равно a
, BC
перпендикулярно CD
, AB=BC
, диагональ BD
перпендикулярна AB
. Найдите стороны трапеции.
Ответ. AB=BC=a\frac{\sqrt{5}-1}{2}
, CD=a\sqrt{\sqrt{5}-2}
.
Указание. Проведите высоту BE
прямоугольного треугольника ABD
.
Решение. Пусть BE
— высота трапеции. Обозначим AB=BC=x
. Тогда
DE=BC=x,~AB^{2}=AD\cdot AE,~\mbox{или}~x^{2}=a(a-x).
Решив это уравнение, получим, что x=\frac{a(\sqrt{5}-1)}{2}
. Следовательно,
CD=BE=\sqrt{AE\cdot ED}=\sqrt{(a-x)x}=a\sqrt{\sqrt{5}-2}.