2167. Два равнобедренных треугольника ABC
(AB=BC)
и MNP
(MP=NP)
подобны и расположены так, что точки M
, N
и P
лежат соответственно на сторонах AB
, BC
и CA
. Найдите отношение \frac{MP}{AB}
, если \frac{NC}{BN}=2
, а угол BAC
равен \arctg4
.
Ответ. \frac{5}{6}
.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. Пусть
\alpha=\angle BAC,~\beta=\angle MNB,~AB=BC=a,~PM=PN=x.
Тогда
BN=\frac{a}{3},~NC=\frac{2a}{3},~MN=2x\cos\alpha,~\angle MPN=180^{\circ}-2\alpha,
\angle MPA=2\alpha-\beta,~\angle BMN=2\alpha-\beta.
В треугольнике BMN
по теореме синусов
\frac{BM}{\sin\beta}=\frac{2x\cos\alpha}{\sin2\alpha}~\Rightarrow~BM=\frac{x\sin\beta}{\sin\alpha}.
В треугольнике AMP
по теореме синусов
\frac{AM}{\sin(2\alpha-\beta)}=\frac{x}{\sin\alpha}~\Rightarrow~AM=\frac{x\sin(2\alpha-\beta)}{\sin\alpha}.
Поскольку
AM+BM=a=\frac{x(\sin(2\alpha-\beta)+\sin\beta)}{\sin\alpha}=2x\cos(\alpha-\beta),
то a=2x\cos(\alpha-\beta)
.
В треугольнике PNC
по теореме синусов
\frac{x}{\sin\alpha}=\frac{2a}{3\sin\beta}~\Rightarrow~a=\frac{3x\sin\beta}{2\sin\alpha}.
Следовательно,
\cos(\alpha-\beta)=\frac{3\sin\beta}{4\sin\alpha},~\mbox{или}~\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{3\sin\beta}{4\sin\alpha}.
Поскольку \sin\alpha=\frac{4}{\sqrt{17}}
и \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{17}}
, то
\cos\beta=-\frac{13}{5\sqrt{17}},~\sin\beta=\frac{16}{5\sqrt{17}}.
Следовательно,
\frac{x}{a}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{5}{6}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1971, билет 12, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 71-12-3, с. 150