2175. В треугольнике ABC
боковые стороны AB
и BC
равны. Прямая, параллельная основанию AC
, пересекает сторону AB
в точке D
, а сторону BC
в точке E
, причём каждый из отрезков AD
, EC
и DE
равен 2. Точка F
— середина отрезка AC
, и точка G
— середина отрезка EC
, соединены отрезком прямой. Известно, что величина угол GFC
равен \beta
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. (1+2\cos2\beta)^{2}\tg2\beta
.
Указание. Докажите, что угол при основании данного треугольника равен 2\beta
.
Решение. Поскольку FG
— средняя линия треугольника AEC
, то FG
параллельно AE
. Поэтому \angle EAC=\angle GFC=\beta
. В равнобедренном треугольнике ADE
известно, что
\angle DAE=\angle DEA=\angle EAC=\angle GFC=\beta.
Поэтому \angle BCF=\angle BAC=2\beta
.
Пусть K
— проекция точки D
на основание AC
. Тогда
FK=1,~AK=AD\cos\angle BAC=2\cos2\beta,
AF=KF+AK=1+2\cos2\beta.
Из прямоугольного треугольника BFC
находим, что
BF=FC\tg\angle BCF=(1+2\cos2\beta)\tg2\beta.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=FC\cdot BF=(1+2\cos2\beta)^{2}\tg2\beta.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1983, № 5, вариант 2
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 37