2176. В прямоугольной трапеции ABCD
(BC
параллельно AD
, AB
перпендикулярно AD
) меньшее основание AD
равно 3, а боковая сторона CD
равна 6. Точка E
, середина стороны CD
, соединена отрезком прямой с точкой B
. Известно, что угол CBE
равен \alpha
. Найдите площадь трапеции ABCD
.
Ответ. 72\sin\alpha\cos^{3}\alpha
.
Указание. Докажите, что угол при основании данной трапеции равен 2\alpha
.
Решение. Пусть H
— середина AB
. Поскольку EH
— средняя линия данной трапеции, то EH\parallel AD
. Поэтому EH\perp AB
. Следовательно, треугольник ABE
— равнобедренный и
\angle AEH=\angle BEH=\angle CBE=\alpha.
Из равнобедренного треугольника ADE
находим, что
\angle AED=\angle EAD=\angle AEH=\alpha.
Поэтому
\angle DCB=\angle DEH=2\alpha.
Пусть DK
— высота трапеции. Тогда из прямоугольного треугольника DKC
находим, что
DK=DC\sin\angle DCB=6\sin2\alpha,~CK=DC\cos\angle DCB=6\cos2\alpha.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot DK=3(6+6\cos2\alpha)\sin2\alpha=
=18(1+\cos2\alpha)\sin2\alpha=72\sin\alpha\cos^{3}\alpha.