2181. В трапеции ABCD
меньшее основание BC
равно 3, боковые стороны AB
и CD
равны по 3. Диагонали трапеции образуют между собой угол в 60^{\circ}
. Найдите основание AD
.
Ответ. 6
Указание. Через вершину C
трапеции проведите прямую, параллельную AB
.
Решение. Пусть K
— точка пересечения диагоналей трапеции. Тогда
\angle KAD=\angle KDA=30^{\circ}.
Через вершину C
проведём прямую, параллельную стороне AB
, до пересечения с основанием AD
в точке M
. Тогда ABCM
— ромб с углом BAM
, равным 60^{\circ}
. Поэтому BM=3
. Тогда BCDM
— также ромб. Следовательно,
AD=AM+MD=2\cdot BC=6.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1977, вариант 4, № 2
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1983. — с. 84