2183. В круговом секторе OAB
, центральный угол которого равен 45^{\circ}
, расположен прямоугольник KMPT
. Сторона KM
прямоугольника лежит на радиусе OA
, вершина P
— на дуге AB
, вершина T
— на радиусе OB
. Сторона KT
на 3 больше стороны KM
. Площадь прямоугольника KMPT
равна 18. Найдите радиус.
Ответ. 3\sqrt{13}
.
Указание. Рассмотрите прямоугольные треугольники OKT
и OMP
.
Решение. Обозначим KM=PT=x
. Тогда
KT=MP=x+3,~x(x+3)=18.
Отсюда находим, что x=3
.
Из прямоугольного треугольника OKT
находим, что
OK=KT=x+3=6,
а из прямоугольного треугольника OMP
—
OP^{2}=OM^{2}+MP^{2}=(OK+KM)^{2}+MP^{2}=(6+3)^{2}+6^{2}=9^{2}+6^{2}=117.
Следовательно,
OP=\sqrt{117}=3\sqrt{13}.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1978, вариант 2, № 3
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 69