2186. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
сторона AB
равна \frac{25}{64}
, сторона BC
равна 12\frac{25}{64}
, сторона AD
равна 6\frac{1}{4}
. Известно, что угол DAB
острый, угол ADC
тупой, причём синус угла DAB
равен \frac{3}{5}
, косинус угла ABC
равен -\frac{63}{65}
. Окружность с центром в точке O
касается сторон BC
, CD
и AD
. Найдите OC
.
Ответ. \frac{\sqrt{130}}{2}
.
Указание. Пусть P
— точка пересечения продолжений отрезков DA
и CB
. Найдите стороны и углы треугольника DCP
(в который вписана данная окружность) с помощью теоремы синусов.
Решение. Пусть \angle DAB=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Тогда
\sin\alpha=\frac{3}{5},~\cos\alpha=\frac{4}{5},~\cos\beta=-\frac{63}{65},~\sin\beta=\frac{16}{65},
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=-\frac{5}{13}.
Значит, \alpha+\beta\gt180^{\circ}
. Поэтому прямые AD
и BC
пересекаются в точке P
, которая разделена с точками D
и C
прямой AB
. Тогда
\angle APB=\alpha+\beta-180^{\circ}.
По теореме синусов найдём PB
из треугольника APB
:
PB=\frac{AB\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta-180^{\circ}}=-\frac{AB\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{39}{64}.
Поэтому PC=PB+BC=13
.
По теореме синусов из треугольника DPC
находим, что
\sin\angle PDC=\frac{PC\sin\angle P}{DC}=\frac{4}{5}.
Тогда \cos\angle PDC=-\frac{3}{5}
.
По теореме синусов из треугольника DCP
находим, что
PD=\frac{PC\sin\angle C}{\sin\angle PDC}=\frac{33}{4}.
Пусть r
— радиус данной окружности, O
— её центр. Тогда
r=\frac{2S_{\triangle DPC}}{PC+DC+DP}=\frac{PC\cdot CD\sin\angle C}{PC+DC+DP}=\frac{3}{2}.
Пусть K
— точка касания окружности со стороной DC
. Из прямоугольного треугольника OKC
находим, что
OC=\frac{r}{\sin\frac{1}{2}\angle C}=\frac{r}{\sqrt{1-\cos\frac{1}{2}\angle C}}=\frac{\sqrt{130}}{2}.