2196. В плоскости дан квадрат с последовательно расположенными вершинами A
, B
, C
, D
и точка O
. Известно, что OB=OD=13
, OC=5\sqrt{2}
и что площадь квадрата больше 225. Найдите длину стороны квадрата и выясните, где расположена точка O
— вне или внутри квадрата.
Ответ. 17; внутри.
Указание. Точка O
принадлежит прямой, содержащей диагональ AC
данного квадрата.
Решение. Пусть K
— центр данного квадрата. Точка O
равноудалена от вершин B
и D
. Поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к диагонали BD
, т. е. на прямой, содержащей диагональ AC
.
Пусть a
— сторона данного квадрата. Поскольку S_{ABCD}=a^{2}\gt225
, то a\gt15
, и BD=AC=a\sqrt{2}\gt15\sqrt{2}
. Поэтому
OC=5\sqrt{2}\lt\frac{15\sqrt{2}}{2}\lt CK.
Пусть точки O
и C
расположены по одну сторону от прямой BD
. Предположим, что точка O
лежит вне данного квадрата. Тогда
OK=OC+CK\gt5\sqrt{2}+\frac{15\sqrt{2}}{2}=12{,}5\sqrt{2}\gt13=OD,
что невозможно, так как OK
— катет прямоугольного треугольника OKD
с гипотенузой OD=13
. Следовательно, точка O
лежит на отрезке CK
.
По теореме Пифагора из треугольника OKD
находим, что OD^{2}=OK^{2}+KD^{2}
,
169=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}-5\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}.
Решив это уравнение, получим, что a=17
.