2197. В плоскости даны квадрат с последовательно расположенными вершинами A
, B
, C
, D
и точка O
, лежащая вне квадрата. Известно, что AO=OB=5
и OD=\sqrt{13}
. Найдите площадь квадрата.
Ответ. 2.
Указание. Составьте уравнение относительно стороны квадрата. Одно из решений этого уравнения противоречит условию задачи.
Решение. Обозначим через x
сторону квадрата. Пусть P
— проекция точки O
на прямую AD
. Из условия задачи следует, что точки O
и A
лежат по разные стороны от прямой CD
.
Точка O
равноудалена от точек A
и B
, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезкам AB
и CD
. Следовательно, OP=\frac{1}{2}CD=\frac{x}{2}
.
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников APO
и DPO
находим, что
AP=\sqrt{AO^{2}-OP^{2}}=\sqrt{25-\frac{x^{2}}{4}},~DP=\sqrt{OD^{2}-OP^{2}}=\sqrt{13-\frac{x^{2}}{4}}.
Поскольку AD+DP=AP
, то x+\sqrt{13-\frac{x^{2}}{4}}=\sqrt{25-\frac{x^{2}}{4}}
. Из полученного уравнения находим, что x^{2}=2
или x^{2}=36
. Во втором случае AD=6
, что невозможно, так как
AP=AD+DP=6+DP\gt5=AO.